사다리 타기, 정말 공정할까? 원리와 확률 이야기

rujebin · 2026년 11월 2일

사다리 타기는 종이와 펜만 있으면 바로 할 수 있어서 모임에서 자주 쓰는 뽑기예요. 그런데 한 번쯤 이런 생각 해 보셨을 거예요. "왜 꼭 내 바로 아래 칸에 걸리는 것 같지?" 기분 탓만은 아니에요. 손으로 대충 그린 사다리는 실제로 공정하지 않을 수 있어요. 사다리 타기의 원리부터 차근차근 볼게요.

저도 친구, 지인, 가족과 모일 때 가장 많이 했던 뽑기가 사다리 타기예요. 종이와 펜만 있으면 바로 할 수 있는, 가장 기초적인 뽑기죠. 그만큼 자주 하다 보니 "이거 정말 공평한 걸까?"가 궁금해져서 직접 따져 봤어요.

사다리 타기의 규칙

1. 참가자 수만큼 세로줄을 긋고, 아래쪽에 결과(당첨, 꽝, 벌칙 등)를 적어요.
2. 세로줄 사이사이에 가로줄을 아무렇게나 그어요. 단, 한 높이에서 가로줄이 서로 이어지지 않게 해요.
3. 위에서 출발해 아래로 내려가다가, 가로줄을 만나면 반드시 옆으로 건너가요.

일본에서는 같은 놀이를 '아미다쿠지(あみだくじ)'라고 부르고, 중국어권에서는 '귀신 다리(鬼腳圖)'라는 이름으로도 알려져 있어요. 그만큼 오래되고 널리 쓰이는 뽑기예요.

절대 두 사람이 같은 칸에 도착하지 않는 이유

사다리가 아무리 복잡해도 두 사람이 같은 결과에 도착하는 일은 없어요. 가로줄 하나는 이웃한 두 줄의 자리를 맞바꾸는 일만 하기 때문이에요. 자리를 계속 맞바꾸기만 하니 처음에 한 줄에 한 명씩 있던 사람들은 끝까지 한 줄에 한 명씩 남아요. 그래서 사다리는 언제나 "모든 사람에게 서로 다른 결과 하나씩"을 나눠 줘요.

그런데 확률은 공평할까?

"모두 다른 결과를 받는다"와 "모두 같은 확률로 받는다"는 다른 이야기예요. 가장 단순한 경우로 확인해 볼게요.

3명(가, 나, 다)이 하고, 가로줄을 딱 하나만 무작위로 긋는 경우예요. 가로줄은 "가-나 사이" 아니면 "나-다 사이" 두 곳 중 하나에 생겨요.

'가'의 결과를 보면 1번 칸이 50%, 2번 칸이 50%, 3번 칸은 0%예요. 공평하려면 세 칸 모두 33%씩이어야 하는데, 멀리 있는 칸에는 아예 갈 수 없어요.

가로줄을 더 많이 그으면 차이가 줄어들지만, 사람이 손으로 그리는 정도의 개수로는 "출발한 자리 근처에 도착할 확률이 더 높은" 쏠림이 남는 경우가 많아요. "왜 꼭 내 바로 아래가 걸리지?"라는 느낌이 근거 없는 게 아니었던 거예요.

사람이 개입할 수 있는 틈

• 사다리를 그린 사람이 결과 위치를 알고 있으면, 가로줄을 어디에 그을지로 결과를 어느 정도 조절할 수 있어요.
• 결과를 먼저 적고 사다리를 그리면, 그리는 동안 누가 어디로 갈지 따라가 볼 수 있어요.
• 마지막에 이름을 고르는 사람이 사다리를 오래 보고 있으면 길을 미리 따라가 볼 수 있어요.

종이 사다리를 공정하게 하는 방법

1. 결과는 가린 채로 시작해요. 아래쪽을 접어 두거나 손으로 가려요.
2. 가로줄은 모두가 하나씩 그어요. 한 사람이 다 그리지 않게 해요.
3. 가로줄은 사람 수의 두세 배 이상 넉넉하게 그어요.
4. 이름을 고른 뒤에 결과를 적는 순서를 섞어요. 결과를 적는 사람과 사다리를 그린 사람을 다르게 하면 더 좋아요.

루제빈 뽑기의 사다리 타기는?

루제빈 뽑기의 사다리 타기는 위의 문제를 이렇게 막아요.

• 입력한 결과를 매판 무작위 순서로 섞어서 사다리 아래에 놓아요. 사다리 모양과 상관없이 누구나 모든 결과에 똑같은 확률로 도착해요.
• 시작 전에는 사다리와 결과가 가림막으로 덮여 있어서 미리 길을 따라가 볼 수 없어요.
• 가로줄 위치와 결과 섞기에는 브라우저의 암호학적 난수를 써서 특정 결과로 치우치지 않아요.